Юрій Тарнавський народився 3 лютого 1934 року в місті Турка на Бойківщині. Його мати була учителькою, а батько учителем і директором школи. До 1939 року він провів дитячі роки в Польщі, біля Ряшева, а відтак в Україні – біля Сянока і в Турці. У 1944 році виїхав з родиною до Німеччини. Після війни проживав у таборі для переміщених осіб у Новому Ульмі, де й відвідував українську і німецьку гімназії. Закінчив середню освіту екстерном у Мюнхені, перед виїздом до США в 1952 році.

З родиною осів у Ньюарку. Там Ю. Тарнавський відвідував Ньюаркський Коледж Інженерії, в якому студіював електронну інженерію. Закінчив ці студії 1956 року зі ступенем BSEE, й відтак поступив на працю до відомої компанії комп’ютерів IBM. Перебув у ній до 1992 року. Спершу працював інженером-електроніком, а згодом кібернетиком над автоматичним перекладом з російської мови на англійську. Завідував відділом прикладних лінґвінстів в IBM, у військовій школі в Сиракюзах (Нью-Йорк) і в Конгресовій Бібліотеці у Вашингтоні. Програма, розроблена його групою, стала першою у світі, що мала застосування в конкретній практиці цього роду пошуків.

На відпустці в роках 1964—1965, Юрій Тарнавський проживав в Іспанії. Згодом, не покидаючи праці в IBM, студіював теоретичну лінґвінстику по спеціалізації в трансформаційній граматиці при Нью-Йоркськім Університеті. В 1982-ому році він здобув ступінь доктора філософії (Ph. D.), захистивши дисертацію з питань семантики у Поширеній Стандартній Теорії Ноама Чомського під назвою «Семантика знання». Відтак працював над процесуванням природних і розробкою штучних мов, як також і в ділянці штучного інтелекту, над експертними системами. За працю в IBM Юрій Тарнавський був відзначений низкою нагород.