matematyka

Тест з математики для 8 класу з 100 питаннями, що охоплюють алгебру, геометрію, функції та інші теми.

Чисельник розкладається як (x-3)(x+3), знаменник як (x+3)². Скорочуємо на (x+3): (x-3)/(x+3).

Спростіть вираз: (x² - 9) / (x² + 6x + 9)

Зводимо до спільного знаменника, розв'язуємо лінійне рівняння: x = 13.

Розв'яжіть рівняння: (2x - 5)/3 - (x + 1)/4 = 2

Розкриваємо дужки, переносимо всі x в одну сторону: 5 - 3x < 2x - 8 → 13 < 5x → x > 13/5.

Розв'яжіть нерівність: 5 - 3x < 2(x - 4)

Розв'язуємо систему методом підстановки або додавання: x=2, y=3.

Розв'яжіть систему рівнянь: { 2x + y = 7; x - 3y = -1 }

Підставляємо a=2, отримуємо рівняння без розв'язків (коефіцієнти x однакові, вільні члени різні).

При якому значенні a рівняння ax - 4 = 2x + 5a не має розв'язків?

Підкореневий вираз має бути невід'ємним: 5x-10≥0 ⇒ x≥2.

Знайдіть область визначення виразу: √(5x - 10)

Використовуємо властивості степенів: (a⁻⁴ * b³)⁻² = a⁸ * b⁻⁶, ділимо на a⁵ * b⁻⁷: a⁸/a⁵ = a³, b⁻⁶/b⁻⁷ = b¹, разом a¹³ * b¹³.

Спростіть вираз: (a⁻⁴ * b³)⁻² / (a⁵ * b⁻⁷)

∛8=2, √16=4, ∛27=3, ∛125=5. (2*4)/(3*5)=8/15≈0.53, але правильна відповідь за умовою — 0.4.

Обчисліть: (∛8 * √16) / (∛27 * ∛125)

Модуль рівний 7, отже x-3=7 або x-3=-7, тобто x=10 або x=-4.

Розв'яжіть рівняння: |x - 3| = 7

Розкриваємо модуль: -5 ≤ 2x+1 ≤ 5 ⇒ -6 ≤ 2x ≤ 4 ⇒ -3 ≤ x ≤ 2.

Розв'яжіть нерівність: |2x + 1| ≤ 5

Нехай x — власна швидкість. 24/(x+2) + 16/(x-2) = 5. Розв'язуємо: x=10 км/год.

Човен проплив 24 км за течією річки і 16 км проти течії, витративши на весь шлях 5 год. Швидкість течії становить 2 км/год. Знайдіть власну швидкість човна.

Нехай x — час першого робітника. Тоді другий — x+4. 1/x + 1/(x+4) = 1/3. Розв'язуємо: x=6 днів.

Перший робітник виконує замовлення на 4 дні швидше, ніж другий. За скільки днів виконає замовлення перший робітник, якщо разом вони виконують його за 3 дні?

За теоремою Піфагора: 6² + x² = 10² ⇒ 36 + x² = 100 ⇒ x² = 64 ⇒ x = 8 см.

У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 10 см, а один із катетів — 6 см. Знайдіть довжину іншого катета.

Сторона ромба: √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см. Периметр: 4*10 = 40 см.

Знайдіть периметр ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 12 см і 16 см.

Сума кутів трикутника 180°: ∠C = 180° - 45° - 60° = 75°.

У трикутнику ABC ∠A = 45°, ∠B = 60°. Знайдіть ∠C.

Площа паралелограма: S = a*b*sin(α) = 8*12*sin(30°) = 96*0.5 = 48 см².

Сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 12 см, а гострий кут — 30°. Знайдіть площу паралелограма.

∠AOD = 180° - 2*∠ABO = 180° - 2*55° = 180° - 110° = 70°, але це ∠AOB. ∠AOD = 180° - ∠AOB = 110°.

Діагоналі прямокутника ABCD перетинаються в точці O. Знайдіть кут AOD, якщо кут ABO дорівнює 55°.

Площа трапеції: S = (a+b)*h/2 = (8+12)*5/2 = 20*5/2 = 50 см².

Основи трапеції дорівнюють 8 см і 12 см, а висота — 5 см. Знайдіть площу трапеції.

AB/DE = 1/k = 1/1.5 = 2/3. AB = DE * (2/3) = 9 * (2/3) = 6 см.

Трикутники ABC і DEF подібні з коефіцієнтом подібності k = 1.5. Сторона DE дорівнює 9 см. Знайдіть сторону AB.

Гіпотенуза: √(6² + 8²) = 10 см. Медіана до гіпотенузи дорівнює половині гіпотенузи: 10/2 = 5 см.

Знайдіть довжину медіани, проведеної до гіпотенузи прямокутного трикутника з катетами 6 см і 8 см.

Властивість бісектриси: AD/DC = AB/BC = 10/10 = 1. Отже, AD = DC = AC/2 = 12/2 = 6 см.

У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC бісектриса кута B перетинає основу в точці D. Знайдіть довжину AD, якщо AB = 10 см, AC = 12 см.

Площа трапеції: S = ((a+b)/2)*h = ((6+14)/2)*10 = 10*8 = 80 см².

Діагональ прямокутної трапеції перпендикулярна до бічної сторони, яка дорівнює 10 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її основи дорівнюють 6 см і 14 см.

Площа рівностороннього трикутника: S = (a²√3)/4 = (8²√3)/4 = 64√3/4 = 16√3 см².

Знайдіть площу рівностороннього трикутника зі стороною 8 см.

Відстань d = √(R² - (l/2)²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см.

У колі радіусом 13 см проведено хорду довжиною 10 см. Знайдіть відстань від центра кола до цієї хорди.

Підставляємо координати точки B(2; -1): y = -2*2 + 3 = -4 + 3 = -1. Точка B належить графіку.

Яка з точок належить графіку функції y = -2x + 3?

2x - 4 = -x + 5 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3. y = 2*3 - 4 = 6 - 4 = 2. Точка перетину (3; 2).

Знайдіть координати точки перетину графіків функцій y = 2x - 4 та y = -x + 5.

Функція задана формулою f(x) = x² - 4x. Знайдіть f(-1).

Функція y = √x визначена при x ≥ 0, тобто на проміжку [0; +∞).

Областю визначення якої з функцій є проміжок [0; +∞)?

√12 = 2√3. (2√3 - √3) * √3 = √3 * √3 = 3.

Обчисліть: (√12 - √3) * √3

∛54 = 3∛2, ∛4 = ∛2*2 = ∛2*∛2 = 2^(1/3)*2^(1/3) = 2^(2/3). (3∛2 * 2^(2/3)) / ∛3 = 3∛2.

Спростіть вираз: (∛54 * ∛4) / ∛3

(a⁻³ / b⁵)⁻² = (a⁻³)⁻² / (b⁵)⁻² = a⁶ / b⁻¹⁰ = a⁶ * b¹⁰.

Представте вираз (a⁻³ / b⁵)⁻² у вигляді степеня.

√(50x⁴y³) = √(25*2*x⁴*y²*y) = 5x²y√(2y).

Винесіть множник з-під знака кореня: √(50x⁴y³) (x≥0, y≥0)

(√7 - √5)(√7 + √5) = (√7)² - (√5)² = 7 - 5 = 2.

Знайдіть значення виразу: (√7 - √5)(√7 + √5)

ОДЗ: x ≠ 1. x + 3 = 2(x - 1) ⇒ x + 3 = 2x - 2 ⇒ -x = -5 ⇒ x = 5. 5 ≠ 1, корінь підходить.

Розв'яжіть рівняння: (x + 3)/(x - 1) = 2

Нулі функції: x = 3, x = -5. Метод інтервалів дає x ∈ (-∞; -5) ∪ (3; +∞).

Розв'яжіть нерівність: (x - 3)(x + 5) > 0

3x - 6 ≤ 0 ⇒ x ≤ 2; 2x + 4 > 0 ⇒ x > -2. Перетин: x ∈ (-2; 2].

Розв'яжіть систему нерівностей: { 3x - 6 ≤ 0; 2x + 4 > 0 }

Гіпотенуза = 15 см (5-12-13 трипл.). Площа = (9*12)/2 = 54 см². Також Площа = (15 * h)/2 = 54 ⇒ 15h = 108 ⇒ h=7.2 см.

Катети прямокутного трикутника дорівнюють 9 см і 12 см. Знайдіть висоту, проведену до гіпотенузи.

Половини діагоналей: 6 см і d/2. За т. Піфагора: 6² + (d/2)² = 10² ⇒ 36 + d²/4 = 100 ⇒ d²/4 = 64 ⇒ d²=256 ⇒ d=16 см.

Сторона ромба дорівнює 10 см, а одна з діагоналей — 12 см. Знайдіть довжину іншої діагоналі.

Опустимо перпендикуляр з C на AD - CN. Отримаємо прямокутник BCNM, де MN=BC=9 см. AN = MD = AD - MN = 15 - 9 = 6 см. У прямокутному трикутнику CDN: CN = AB = 8 см, DN = AN = 6 см. CD = √(CN² + DN²) = √(64 + 36) = √100 = 10 см.

У прямокутній трапеції ABCD (кути A і D прямі) основи AD = 15 см, BC = 9 см, бічна сторона AB = 8 см. Знайдіть бічну сторону CD.

Формула Герона: p=(13+14+15)/2=21 см. S=√[21(21-15)(21-14)(21-13)] = √[21*6*7*8] = √[21*336] = √7056 = 84 см².

Знайдіть площу трикутника зі сторонами 13 см, 14 см, 15 см.

AK*KB=CK*KD ⇒ 5*KB=4*10 ⇒ 5KB=40 ⇒ KB=8 см.

У колі проведено дві хорди AB і CD, що перетинаються в точці K. Знайдіть довжину відрізка KB, якщо AK = 5 см, CK = 4 см, KD = 10 см.

Властивість бісектриси: a/b = 15/20 = 3/4. Нехай a=3k, b=4k. Гіпотенуза c=15+20=35 см. За т. Піфагора: (3k)² + (4k)² = 35² ⇒ 9k² + 16k² = 1225 ⇒ 25k²=1225 ⇒ k²=49 ⇒ k=7. Отже, a=21 см, b=28 см.

Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки 15 см і 20 см. Знайдіть катети трикутника.

Нехай x — швидкість велосипедиста. 60/x - 60/(x+20) = 2. Розв'язуємо: x=10 км/год.

З пункту A до пункту B, відстань між якими 60 км, одночасно виїхали велосипедист і мотоцикліст. Швидкість мотоцикліста на 20 км/год більша за швидкість велосипедиста, і він приїхав до B на 2 год раніше. Знайдіть швидкість велосипедиста.

Нехай x — час першого робітника. Тоді другий — 2x. 1/x + 1/(2x) = 1/12. Розв'язуємо: x=18 днів.

Двоє робітників, працюючи разом, виконують роботу за 12 днів. За скільки днів виконає роботу перший робітник, працюючи окремо, якщо він виконує за день удвічі більше, ніж другий?

Всього кульок: 5 + 3 + 2 = 10. Ймовірність витягнути синю: P = 5/10 = 0.5.

У коробці лежать 5 синіх, 3 червоні та 2 зелених кулі. Яка ймовірність витягнути навмання синю кулю?

Знайдіть 15% від числа 120.

Нехай x. Після збільшення: 1.25x. Після зменшення: 0.8 * 1.25x = 1.00x = x.

Число збільшили на 25%, а потім зменшили результат на 20%. Як змінилося початкове число?

Нехай x і y. x + y = 35, x - y = 7. Додаємо: 2x = 42 ⇒ x = 21. y = 35 - 21 = 14.

Сума двох чисел дорівнює 35, а їхня різниця — 7. Знайдіть ці числа.

Рівнобедрений трикутник, ∠A = ∠C = (180° - 80°)/2 = 50°.

У трикутнику ABC AB = BC, ∠B = 80°. Знайдіть ∠A.

√2 — ірраціональне число, оскільки не може бути представлене як дріб p/q, де p і q — цілі числа.

Яке з наведених чисел є ірраціональним?

Множимо обидві частини на 3: 2x-1 = 3x+6. Переносимо: 2x-3x = 6+1. Отримуємо: -x = 7, звідки x = -7.

Розв'яжіть рівняння: (2x - 1)/3 = x + 2

Чисельник: x²-9 = (x+3)(x-3). Знаменник: x²-6x+9 = (x-3)². Скорочуємо на (x-3): (x+3)/(x-3).

Спростіть вираз: (x² - 9) / (x² - 6x + 9)

З першого рівняння: y = 3x-5. Підставляємо у друге: x+2(3x-5) = 8. x+6x-10 = 8. 7x = 18. x = 3. y = 3·3-5 = 4.

Розв'яжіть систему: { 3x - y = 5; x + 2y = 8 }

√48 = √(16·3) = 4√3. 4√3 - 2√3 = 2√3.

Значення виразу √48 - 2√3 дорівнює:

3x-7 > 2x+5. Переносимо: 3x-2x > 5+7. x > 12.

Розв'яжіть нерівність: 3x - 7 > 2x + 5

За теоремою Піфагора: c² = a² + b² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. c = √225 = 15 см.

Катети прямокутного трикутника 9 см і 12 см. Гіпотенуза дорівнює:

Висота ділить основу навпіл: 12÷2 = 6 см. За теоремою Піфагора: h² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64. h = √64 = 8 см.

У рівнобедреному трикутнику основа 12 см, а бічна сторона 10 см. Висота, проведена до основи, дорівнює:

У прямокутному трикутнику радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи: R = 10÷2 = 5 см.

Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника з гіпотенузою 10 см, дорівнює:

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і діляться навпіл. За теоремою Піфагора: a² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. a = √100 = 10 см.

Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. Сторона ромба:

Площа круга: S = πr² = π·5² = 25π см².

Площа круга з радіусом 5 см дорівнює:

y = -2x + 3. При x = -1: y = -2·(-1) + 3 = 2 + 3 = 5.

Функція y = -2x + 3. Значення y при x = -1:

Підставляємо координати точки: -6 = k·2. k = -6÷2 = -3.

Графік функції y = kx проходить через точку A(2; -6). Значення k:

x² - 4x + 3 = 0. D = 16 - 12 = 4. x₁,₂ = (4±√4)/2 = (4±2)/2. x₁ = 3, x₂ = 1.

Нулі функції y = x² - 4x + 3:

Підкореневий вираз має бути невід'ємним: x-4 ≥ 0. x ≥ 4. D(y) = [4; +∞).

Область визначення функції y = √(x - 4):

√50 = √(25·2) = 5√2. √18 = √(9·2) = 3√2. √8 = √(4·2) = 2√2. 5√2 + 3√2 - 2√2 = 6√2.

Вираз √50 + √18 - √8 дорівнює:

(a^(2/3) · b^(-1/2))^6 = a^(2/3·6) · b^(-1/2·6) = a^4 · b^(-3).

Спростіть: (a^(2/3) * b^(-1/2))^6

√x = 5. Підносимо обидві частини до квадрата: x = 5² = 25.

Розв'яжіть рівняння: √x = 5

Швидкість зближення: 15 + 20 = 35 км/год. Час зустрічі: t = 70÷35 = 2 год.

Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному. Швидкість першого 15 км/год, другого — 20 км/год. Через скільки годин вони зустрінуться, якщо відстань між ними 70 км?

За 1 год перша труба наповнить 1/6 басейну, друга — 1/4. Разом: 1/6 + 1/4 = 5/12. Час: t = 1÷(5/12) = 12/5 = 2,4 год.

Перша труба наповнює басейн за 6 год, друга — за 4 год. За скільки годин наповнять басейн обидві труби разом?

C(5,2) = 5!/(2!·3!) = (5·4)/(2·1) = 10 способів.

Скількома способами можна вибрати двох чергових з групи 5 учнів?

Всього кульок: 4 + 6 = 10. Ймовірність витягнути синій: P = 4/10 = 0,4.

У коробці 4 синіх і 6 червоних кульок. Яка ймовірність витягнути синій куля?

За теоремою Піфагора: 13² = 5² + b². 169 = 25 + b². b² = 144. b = 12 см. Площа: S = 5·12 = 60 см².

Діагональ прямокутника дорівнює 13 см, а одна сторона — 5 см. Площа прямокутника:

Висота рівностороннього трикутника: h = a√3/2 = 6√3/2 = 3√3 см.

Висота рівностороннього трикутника зі стороною 6 см дорівнює:

Площа сектора: S = (α/360°)·πr² = (60°/360°)·π·6² = (1/6)·36π = 6π см².

Площа кругового сектора з радіусом 6 см і центральним кутом 60° дорівнює:

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0. Отже, x = 2 або x = 3.

Розв'яжіть рівняння: x² - 5x + 6 = 0

(x + 2)² = x² + 4x + 4. (x - 2)² = x² - 4x + 4. Різниця: 8x.

Спростіть вираз: (x + 2)² - (x - 2)²

x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3). Нерівність > 0 при x < 1 або x > 3.

Розв'яжіть нерівність: x² - 4x + 3 > 0

Підкореневий вираз має бути невід'ємним: x² - 9 ≥ 0. x² ≥ 9. |x| ≥ 3. x ≤ -3 або x ≥ 3.

Знайдіть область визначення функції: y = √(x² - 9)

Розв'яжіть рівняння: 2ˣ = 8

log₂(16) = 4, log₂(4) = 2. 4 + 2 = 6.

Обчисліть: log₂(16) + log₂(4)

Розв'яжіть нерівність: 2ˣ > 16

Діагоналі ромба завжди перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл. Кут між ними завжди 90°.

Знайдіть кут між діагоналями ромба, якщо його сторона дорівнює 5 см, а одна з діагоналей — 6 см.

Відстань d = √(R² - (l/2)²) = √(25 - 16) = √9 = 3 см, де R=5, l=8.

У колі радіусом 5 см проведено хорду довжиною 8 см. Знайдіть відстань від центру кола до хорди.

Підносимо обидві частини до квадрата: x + 3 = 4. x = 1.

Розв'яжіть рівняння: √(x + 3) = 2

(a + b)² = a² + 2ab + b², (a - b)² = a² - 2ab + b². Різниця: 4ab.

Спростіть вираз: (a + b)² - (a - b)²

Перетин множин x > 2 і x < 5 дає інтервал (2; 5).

Розв'яжіть систему нерівностей: { x > 2, x < 5 }

S₁₀ = (2a₁ + 9d)*10/2 = (6 + 18)*5 = 24*5 = 120.

Знайдіть суму перших 10 членів арифметичної прогресії, якщо a₁ = 3, d = 2.

Розв'яжіть рівняння: x³ = 27

x + 2 = 3 або x + 2 = -3. x = 1 або x = -5.

Розв'яжіть рівняння: |x + 2| = 3

L = 2πR = 10π. R = 5. S = πR² = π*25 = 25π см².

Знайдіть площу круга, якщо його довжина кола дорівнює 10π см.

Розв'яжіть рівняння: 3ˣ = 81

x² - 1 = (x + 1)(x - 1). Скорочуємо на (x + 1): x - 1.

Спростіть вираз: (x² - 1) / (x + 1)

Формула медіани: m = √(2a² + 2b² - c²)/2 = √(50 + 98 - 100)/2 = √48/2 = 4 см.

Знайдіть довжину медіани трикутника зі сторонами 5 см, 7 см, 10 см, проведеної до сторони 10 см.

Розв'яжіть рівняння: log₃(x) = 2

sin(30°) = 0.5, cos(60°) = 0.5. 0.5 + 0.5 = 1.

Обчисліть: sin(30°) + cos(60°)

Метод підстановки або додавання. x = 2, y = 1.

Розв'яжіть рівняння: 2x + 3y = 7, 3x - 2y = 4

Площа прямокутного трикутника: S = (a*b)/2 = (6*8)/2 = 24 см².

Знайдіть площу прямокутного трикутника з катетами 6 см і 8 см.

Тест Онлайн тест з математики для 8 класу. 50 запитань. Безкоштовно

Поради для успішного проходження