matematyka

На рисунку відображено зміну густини (мкг/м3) дрібнодисперсного пилу в повітрі протягом доби в деякому районі міста. Укажіть із-поміж наведених проміжок часу (год), упродовж якого густина такого пилу в повітрі лише зменшувалася.

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2024-1/01-math-1-2024-new-2.png

Зовнішній кут при вершині <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> трикутника <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></math> дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>100</mn><mo>∘</mo></msup><mo>,</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">∠</mi><mi>C</mi><mo>=</mo><msup><mn>20</mn><mo>∘</mo></msup></math> (див. рисунок). Визначте градусну міру кута <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mo>.</mo></math>

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2024-1/02-math-1-2024.png

Розкладіть вираз <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>4</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>144</mn></math> на множники.

На рисунку зображено циліндр, прямокутник <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi></math> – його осьовий переріз. Укажіть відрізок, який є твірною цього циліндра.

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2024-1/04-math-1-2024.png

Яке з наведених чисел є коренем рівняння <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">|</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>?</mo></math>

Микола частує свою родину фруктовим салатом із яблук, бананів й апельсинів. Для приготування однієї порції салату потрібно <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math> банан, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn></math> апельсини та <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>3</mn></math> яблука. Скільки апельсинів використав Микола, якщо він приготував за цим рецептом салат із <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>24</mn></math> фруктів?

На рисунку зображено графік функції <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo></math> визначеної на проміжку <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">[</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>–</mo></mrow><mn>3</mn><mo>;</mo><mtext>&nbsp;</mtext><mn>3</mn><mo stretchy="false">]</mo><mo>.</mo></math> У яких координатних чвертях розташований графік функції <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>4</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>?</mo></math>

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2024-1/07-math-1-2024.png

Обчисліть <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mroot><mn>189</mn><mn>3</mn></mroot><mroot><mn>7</mn><mn>3</mn></mroot></mfrac><mo>.</mo></math>

Обчисліть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>8</mn><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>см</mtext><mo>,</mo></math> а апофема на <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>см</mtext></math> більша за сторону основи піраміди.

Які з наведених тверджень є правильними? I. Існує паралелограм, діагональ якого дорівнює сумі двох його сусідних сторін. II. Існує паралелограм, один із кутів якого вдвічі більший за інший кут. III. Існує паралелограм, діагоналі якого перпендикулярні.

Розв’яжіть систему нерівностей <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">{</mo><mtable columnalign="left" columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><msup><mn>5</mn><mi>x</mi></msup><mo>&lt;</mo><mn>25</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>&lt;</mo><mn>8.</mn></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE" fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo></mrow></math>

В арифметичній прогресії <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> відомо, що <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>a</mi><mn>6</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>30.</mn></math> Обчисліть значення виразу <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>a</mi><mn>6</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>a</mi><mn>4</mn></msub><mo>.</mo></math>

Укажіть проміжок, якому належить значення виразу <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>log</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>2</mn></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mn>125.</mn></math>

Укажіть корінь рівняння <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-auto-op="false">tg</mi></mrow><mo stretchy="false">(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1.</mn></math>

На рисунку зображено прямокутник <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi><mo>.</mo></math> Точка <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>K</mi></math> лежить на стороні <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>D</mi><mo>.</mo></math> Визначте довжину сторони <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>D</mi><mo>,</mo></math> якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>K</mi><mo>=</mo><mi>d</mi><mo>,</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">∠</mi><mi>A</mi><mi>K</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mi style="font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em">α</mi><mo>,</mo><mtext>&nbsp;</mtext><mi mathvariant="normal">∠</mi><mi>K</mi><mi>C</mi><mi>D</mi><mo>=</mo><mi style="font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em">β</mi><mo>.</mo></math>

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2024-1/15-math-1-2024.png

У прямокутній декартовій системі координат на площині зображено замкнену ламану <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>A</mi><mo>,</mo></math> де <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo stretchy="false">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>–</mo></mrow><mn>1</mn><mo>;</mo><mtext>&nbsp;</mtext><mn>0</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mtext>&nbsp;</mtext><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>C</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mtext>&nbsp;</mtext><mn>0</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>.</mo></math> Узгодьте функцію (1–3) з кількістю (А – Д) спільних точок її графіка та ламаної <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>A</mi><mo>.</mo></math>

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2024-1/16-math-1-2024.png

Перша колонка

Друга колонка

Узгодьте вираз (1–3) з твердженням (А – Д) про його значення, якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>3.</mn></math>

є раціональним числом, що не є цілим

є цілим від’ємним числом

є ірраціональним числом

Навколо кола описано рівнобічну трапецію (див. рисунок), периметр якої дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>100</mn><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>см</mtext><mo>.</mo></math> Різниця основ трапеції дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>14</mn><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>см</mtext><mo>.</mo></math> До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2024-1/18-math-1-2024.png

Довжина середньої лінії трапеції дорівнює

Довжина більшої основи трапеції дорівнює

Довжина висоти трапеції дорівнює

Обчисліть інтеграл <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mo data-mjx-texclass="OP">∫</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>5</mn></mrow></msubsup><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>.</mo></math>

Сергій купив <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>4</mn></math> чорні, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>6</mn></math> червоних і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math> синіх ручок по <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>27</mn><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>грн</mtext><mo>,</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>15</mn><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>грн</mtext></math> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>10</mn><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>грн</mtext></math> кожна. Середня ціна однієї ручки виявилася меншою за <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>13</mn><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>грн</mtext><mo>.</mo></math> Укажіть найменше можливе значення <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>.</mo></math>

У прямокутній системі координат у просторі задано правильну чотирикутну призму <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi><msub><mi>A</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>B</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>C</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>D</mi><mn>1</mn></msub><mo>.</mo></math> Діагоналі основи <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi></math> перетинаються в точці <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi><mo>.</mo></math> Висота призми втричі більша за сторону <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>.</mo></math> Обчисліть об’єм цієї призми, якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>4</mn><mo>;</mo><mtext>&nbsp;</mtext><msqrt><mn>10</mn></msqrt><mo>;</mo><mtext>&nbsp;</mtext><mn>3</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi><mo stretchy="false">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>–</mo></mrow><mn>2</mn><mo>;</mo><mtext>&nbsp;</mtext><mn>0</mn><mo>;</mo><mtext>&nbsp;</mtext><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>.</mo></math>

Знайдіть усі значення <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>,</mo></math> за яких рівняння <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>4</mn></mrow><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>5</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn></math> має лише один корінь. Якщо таких значень кілька, то запишіть у відповіді їхній добуток.

НМТ онлайн 2024 року з математики – 1 сесія

Поради для успішного проходження